Qu'est-ce qu'un tableau de variations ?

Méthode

On considère une fonction. On veut réaliser le tableau de variations de cette fonction : c'est un tableau qui synthétise les variations de la fonction suivant les intervalles sur lesquels elle est définie.

• Dans la première ligne du tableau, on indique les extrémités de l'ensemble de définition de la fonction ainsi que les valeurs de la variable pour lesquelles il y a un changement de variations de la fonction.
  
• Dans la seconde ligne, on indique, à l'aide de flèches, les sens de variation de la fonction selon les intervalles considérés. Lorsque cela est possible, on précise, aux extrémités des flèches, les valeurs des images par la fonction.

Exemple 1

Voici le tableau de variations d'une fonction \(f\).

D'après la première ligne du tableau, l'ensemble de définition de \(f\) est l'intervalle \([-5;3]\).
D'après la première ligne du tableau, la fonction change de variation en \(x=-2\) et en \(x=3\).
D'après la seconde ligne du tableau, la fonction est (strictement) croissante sur \([-5;-2]\), (strictement) décroissante sur \([-2;3]\) puis (strictement) croissante sur \([3;4]\).
D'après la seconde ligne du tableau, l'image de \(-5\) par \(f\) est \(-1\), ce qui s'écrit aussi \(f(-5)=-1\).
D'après la seconde ligne du tableau, on dispose aussi des images de \(-2;\;3\) et \(4\) par \(f\) :\(f(-2)=3\;f(3)=0\) et \(f(4)=2\).

Exemple 2

Voici le tableau de variations d'une fonction \(g\).

D'après la première ligne du tableau, l'ensemble de définition de \(g\) est l'intervalle \(]-\infty;2]\).
D'après la première ligne du tableau, la fonction change de variation uniquement en \(x=0\).
D'après la seconde ligne du tableau, la fonction est (strictement) décroissante sur \(]-\infty;0]\), (strictement) croissante sur \([0;2]\).
D'après la seconde ligne du tableau, l'image de \(0\) par \(g\) est \(-3\), ce qui s'écrit aussi \(g(0)=-3\).
D'après la seconde ligne du tableau, on dispose aussi de l'image de \(2\) par\(g\). Ce qui se note \(g(2)=1\).
Dans la seconde ligne en dessous de \(-\infty\), il n'y a rien car cela ne correspond pas à un calcul d'image.